Для каких целых значений а, функция y=-x^2 + 2x + a

Квадратичная функция. График - парабола. Ветки ориентированы вниз, т.к. коэффициент квадратного члена - отрицательное число.

Найдем вершину:
Xo = -b/(2a) = -2/(-2) = 1
Yo = f(Xo) = -1 + 2 + a = a + 1

В данном случае, верхушка является максимумом функции. Чтоб функция воспринимала ровно четыре положительных значения при целых a наибольшее значение функции должно быть 4.

Приравниваем максимум к 4
a + 1 = 4
Откуда a = 3