Прошу подробно разъяснить способ промежутков

Метод интервалов  это особый метод, предназначенный для решения трудных неравенств вида f(x) gt; 0. Метод состоит из 5 шагов:

 

Решить уравнение f(x) = 0. Таким образом, заместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;

Отметить все приобретенные корешки на координатной прямой. Таким образом, ровная разделится на несколько промежутков;

Найти кратность корней. Если корешки четной кратности, то над корнем рисуем петлю. (Корень считается кратным, если существует четное количество схожих решений)

Узнать символ (плюс либо минус) функции f(x) на самом правом интервале. Для этого довольно подставить в f(x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;

Отметить знаки на других промежутках, чередуя их.

После этого остается только выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком +, если неравенство имело вид f(x) gt; 0, либо знаком , если неравенство имеет вид f(x) lt; 0.

В случае с нестрогими неравенствами( , ) необходимо включить в интервалы точки, которые являются решением уравнения f(x) = 0;

Решить неравенство:

(x - 2)(x + 7) lt; 0

Работаем по методу промежутков.

Шаг 1: сменяем неравенство уравнением и решаем его:

(x - 2)(x + 7) = 0

Творенье одинаково нулю тогда и только тогда, когда желая бы один из множителей равен нулю:

x - 2 = 0 =gt; x = 2

x + 7 = 0 =gt; x = -7

Получили два корня.

 

Шаг 2: отмечаем эти корешки на координатной прямой. Имеем:

 



 

Шаг 3: обретаем символ функции на самом правом промежутке (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо брать любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не воспрещает брать x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). 

Получим:

f(x) = (x - 2)(x + 7)

x = 3

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Получаем, что f(3) = 10 gt; 0 (10 это положительное число), потому в самом правом промежутке ставим знак плюс.

 

Шаг 4:  необходимо отметить знаки на других интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак обязан изменяться. К примеру, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы удостоверились в этом на предыдущем шаге), потому слева должен стоять минус. Этот минус распространяется на весь интервал (7; 2), поэтому справа от корня x = 7 стоит минус. Как следует, слева от корня x = 7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. 

 



 

Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

(x - 2)(x + 7) lt; 0

Итак, функция обязана быть меньше нуля. Означает, нас интересует символ минус, который появляется лишь на одном промежутке: (7; 2). Это и будет ответ.

 

Пример 2:

 

Решить неравенство:

(9x2 - 6x + 1)(x - 2) 0

Решение: 

Для начала нужно найти корни уравнения 

(9x2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

Свернем первую скобку, получим:

(3x - 1)2(x - 2) = 0

Отсюда:

x - 2 = 0; (3x - 1)2 = 0

Решив эти уравнения получим:

x1 = 2; x2 = ; x3= ;

Нанесем точки на числовую прямую:



Т.к. x2 и x3  кратные корешки, то на прямой будет одна точка и над ней петля.

Возьмем хоть какое число наименьшее самой левой точки   и подставим в начальное неравенство. Возьмем число -1.

(9*(-1)2 - 6*(-1) + 1)(-1 - 2) = -12

Т.к. решение уравнения при x = -1 отрицательное (-12), то на графике в крайнем левом интервале пишем -, и дальше чередуя знак записываем его в последующие интервалы:



Дальше избираем отрицательные интервалы, т.к. знак нашего неравенства .

Не забываем включать решение уравнения (найденные X), т.к. наше неравенство нестрогое.

Ответ:  U [2;+)

 

Пример 3:

 

Решить неравенство:

(9x2 - 6x + 1)(x - 2) gt; 0

Все, чем данное неравенство отличается от предыдущего заместо нестрогого неравенства () стоит требовательное (gt;). Как ни удивительно, решение данного неравенства будет другим.

Найдем корни уравнения (9x2 - 6x + 1)(x - 2)