Способом математической индукции докажите1) формулу общего члена арифметической прогрессии

Question

Способом математической индукции докажите1) формулу общего члена арифметической прогрессии

Способом математической индукции обоснуйте
1) формулу общего члена арифметической прогрессии a_n=a_1+d*(n-1)
2) $\displaystyle S_n=\frac(2a_1+d(n-1))n2$ формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии;
3) формулу общего члена геометрической прогрессии
$\displaystyle b_n=\fracb_1(1-q^n)1-q$ при $q \neq 1$

Задать свой вопрос

Злата Сюльжина 2019-09-16 10:23:11

отталкивайся от того, что индукция работает так: (есть формула, её надобно обосновать, проверяешь правильность для n = 1), после , если работает при 1 делаешь так, добавляешь в формулу к n единицу, допустим формула 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) и это одинаково чему-то. слева и справа прибавляешь (2(n+1) -), после справа приводишь всё так, чтоб в формуле просто коэф. у n поменялись на 1.

Надежда Ираклиева 2019-09-16 10:24:42

вот пример более четкий. задачка: 1 + 2 + 3 + .. + n = n(n+1)/2, при n = 1 равенство верно, сейчас добавим n + 1 слева и справа: 1 + .. + n + 1 = n(n+1)/2 + n + 1, сейчас только правая часть: (n + 1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2, вот и всё, это доказано т.к. по формуле для n+1 => (n+1)((n+1)+1)/2 = (n+1)(n+2)/2

Ксюха Павлов-Власова 2019-09-16 10:31:53

Попробуем. Проверим для n=1: a_1=a_1+d*(n-1)=a_1 равенство верно. Пусть n=k: a_k=a_1+d*(k-1). Проверим для n=k+1: a_(k+1)=a_1+d*(k+1-1)=a_1+d*k. По принципу мат. индукции делаем вывод, что требуемое утверждение подтверждено

Эльвира Селях
Алгебра
2019-09-16 10:18:15
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Дайте пожалуйста идею для срченения басни где предметы мыслят как люди

25+9(y-6) помогите паж))

персонажи к басне Бременские Уличные Музыканты.

2м8см=?см3м7дм=?дм72дм=?м?дм653см=?м?дм?см3сут.6ч=?ч12мин25с=?с6ч9мин=?мин95мин=?ч?мин

мини сочинение на всякую тему 10 баллов

сверкает молния ,загораеться лампочка,расческа притягивает волосы - это все электрическое

Сочинение на тему Вандалы

свойства колобка. ( 10 - 15 предложенний )

как верно задать вопрос: искусство (кого?) чтеца либо искусство (чьё?) чтеца?

1/6x+1/2x как упростить

Арешков Павел · Answer 1 · 2019-09-16 10:19:40+3:00

1)
База индукции: 1

$a_1=a_1+d*0=a_1$ проверено.

Предположим, что утверждение правильно для n=k.
$a_k=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d$
Покажем, и докажем, что утверждение верно так же для n=k+1.
$a_k+1=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk$
Так как , следуя предположению $a_k=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d$ то прибавив к данному выражению d. Мы получим последующий член $a_k+1=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk$ .
Т.е. предположение правильно. Ч.Т.Д.

2)
$S_n= \fracn[2a_1+d(n-1)]2$
База : 1
Проверка: $S_1= \frac2a_12=a_1$ .

Предположение: $n=k \Rightarrow S_k= \frack[2a_1+d(k-1)]2= \frac2a_1k+dk^2-dk2$

Теперь покажем и докажем, что данное выражение правильно и при $n=k+1$ :

Так как предшествующий член был равен k, то что бы выяснить сумму первых k+1 членов, довольно прибавить k+1 член (используя формулу которую мы доказали ранее):
$S_k+1= \frac2a_1k+dk^2-dk2+(a_1+dk)= \frac2(a_1+dk)+2a_1k+dk^2-dk2\\= \frac2a_1+2dk+2a_1k+dk^2-dk2= \frac2a_1k+2a_1+dk^2+dk2\\amp;10;= \frac2a_1(k+1)+dk(k+1)2= \frac(k+1)(2a_1+dk)2$
т.е. мы пришли к изначальной формуле, если туда подставить k+1. Ч.Т.Д.

3)
Это не формула общего члена, это формула суммы.
При
$q=1$ выходит деление на ноль, потому сходу пишем $q \neq 1$
База: 1
$b_1= \fracb_1(1-q)(1-q)=b_1$
Представим, что формула верна для: $n=k$
Покажем и докажем что формула верна для $n=k+1$ :
Как и с суммой арифм.прогрессии. Мы добавим k+1 член к сумме.
$b_k+1= \fracb_1(1-q^k)1-q+b_1q^k= \frac(1-q)b_1q^k+b_1(1-q^k)1-q\\= \fracb_1[(1-q)q^k+(1-q^k)]1-q= \fracb_1[q^k-q^k+1+1-q^k]1-q= \fracb_1(1-q^k+1)1-q$
Ч.Т.Д.

О проекте

Способом математической индукции докажите1) формулу общего члена арифметической прогрессии

Добро пожаловать!