Обоснуйте, что для хоть какого выпуклого четырехугольника сумма диагоналей меньше, чем периметр.

Решение.    

Осмотрим выпуклый четырехугольник ABCD. Докажем, что  AC+BDlt;p

Так как четырехугольник выпуклый, то любая диагональ разбивает его на два треугольника.

Проведем диагональ АС. Сообразно неравенству треугольника,

 AClt;AB+BC

AClt;AD+CD 

Сложив почленно данные неравенства, получим, 2AClt;AB+BC+AD+CD

1AClt;p, AC=p/2 

Проведем диагональ BD. Проведя подобные рассуждения, получим, BDlt;p/2

Сложив заключительные два неравенства, имеем AC+BDlt;p