Сколько решений в целых числах имеет уравнение x^2+ y^2+ x^2y^2=9?

Обратим внимание на то, что x либо y не может быть больше 3.

То есть если мы возьмём x = 4, а y = 0 (так как x находится в чётной степени, то корни приобретенные с одним знаком будут такими же если мы будем работать с другим знаком) то получим последующее

4+0+0 = 9

16 = 9

Это значит, что значения x и y принадлежат отрезку [3, -3], где x и y - целые числа

Тогда нам не составит труда их все перебрать

1. Пусть x = 3

(3) + y + (3)y = 9

9 + y + 9y = 9

10y = 0 y = 0 - два корня (один если x = 3 и ещё одни если x = -3)

2. Пусть x = 2

(2) + y + (2)y = 9

5y = 5

y = 1 - четыре корня (два если x = 2, и ещё два если x = -2)

3. Пусть x = 1

(1) + y + (1)y = 9

2y = 8

y = 2 - четыре корня

4. Пусть x = 0

y = 9

y = 3 - два корня

Мы отыскали все вероятные корешки, просуммируем их:

2 + 4 + 4 + 2 = 12

Ответ: 12 корней