Обосновать, что 2^n+1 делится нацело на 3 при любом нечетном n

Question

Доказать, что 2^n+1 делится нацело на 3 при любом нечетном n

2 ответа

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Рохо Валек · Answer 1 · 2019-09-17 10:19:14+3:00

Хоть какой квадрат, неделящийся нацело на 3, при дробленьи на 3 дает остаток 1. Сейчас вперед.

Пусть показатель степени n нечетное число, тогда n=2k+1.

$2^n=2^2k+1=2*(2^k)^2$

Число $(2^k)^2$ полный квадрат и дает при разделеньи на 3 остаток 1. Потому число

$2*(2^k)^2$

при дробленьи на 3 дает в остатке 2, а необходимое нам число

$2*(2^k)^2+1$ при дроблении на 3 дает в остатке 3, то есть делится на 3 нацело, чтд.

Алексей Лазня · Answer 2 · 2019-09-17 10:27:18+3:00

при k=1 имеем 2^1+1=3 делится на 3

Пусть при к=2n+1 производится 2^(2n+1)+1 делится 3;

покажем, что при к=2(n+1)+1 2^k+1 делится на 3

2^(2(n+1)+1)+1=2^((2n+1)+2)+1=(2^2)*(2^(2n+1))+1=

=(1+3)*2^(2n+1)+1=(2^(2n+1)+1)+3*2^(2n+1)

1-ое слагаемое делится на 3 по предположению, а 2-ое

содержит множитель 3. Как следует и сумма делится на 3.

Мы обосновали по способу математической индукции.