На дощечке записано 20 естественных чисел. Знаменито, что сумма всех пяти

Заметим, что в условии не сказано, что все числа различные. Будем считать, что числа записаны в порядке возрастания:

Условие, что сумма всех 5 из них не меньше 117, равносильно тому, что сумма меньших 5 не меньше 117:

Чтоб сделать сумму всех чисел как можно меньше, надобно сделать как можно меньше и брать все числа с великими номерами одинаковыми . Чтоб упростить рассуждение, приведу подходящий набор чисел и докажу, что хоть какой иной даст великую сумму:

Сумма первых 5 чисел одинакова 117, сумма всех одинакова 477. Сумма первых 5 тем самым мало вероятная, потому попытка сделать сумму всех чисел меньше приводит к тому, что обязан стать меньше, чем 24, а тогда и 5-ый член окажется меньше 24, а тогда сумма первых пяти окажется не больше, чем .

Ответ: 477