В турнире по шашкам каждый участник сыграл с каждым по одной

пусть шахматистов X

явно, что каждый сыграл с X-1 шахматистов(так как сыграл со всеми)  

=gt; каждый сыграл X-1 партий, а X шахматистов сыграли X(X-1)/2 партий (т.к. любая партия играется 2-мя(!!!) шахматистами)

имеем уравнение: X^2-X-240=0

решаем: дискриминант=1+240*4=961=31*31

=gt; корешки уравнения - числа 16 и -15

очевидно, что количество шахматистов больше нуля

как следует, ответ: 16