Помогите решить дифференциальное уравнение второго порядка[tex](1+x^2)y039;039;+(y039;)^2+1=0[/tex]

Question

Вопросы-ответы » Алгебра

Помогите решить дифференциальное уравнение второго порядка[tex](1+x^2)y039;039;+(y039;)^2+1=0[/tex]

Помогите решить дифференциальное уравнение второго порядка
$(1+x^2)y''+(y')^2+1=0$

Задать свой вопрос

Мигулева Эльвира
Алгебра
2019-09-18 23:01:59
2
2

2 ответа

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Составьте 10 предложений со сложноподчиненными союзами! ПОЖАЛУЙСТА! 20 баллов!

Высчитать эквивалент и молярную массу эквивалента для соединений:K3PO4, Al(OH)3, H2SO3,

Запишите все трехзначные числа для записи которых употребляются только числа 1

Помогите пожалуйста очень прощууу безотлагательно задачка N2

сколько 10-ов в числе 75 тыщ? сроооооооооочно и прытко

Скорость двидкния легковой машины a км/час она проехала 5 км сколько

воткнуть пропущенные буквы

1. Подчеркните буквы мягких согласных

краткий рассказ о автотрофах

С подмогою суффикса им образуются слова 1. Волну..ый 2. Слыш..ый 3.колебл..ый

Пустоварова Александра · Answer 1 · 2019-09-18 23:07:09+3:00

Пустоварова Александра 2019-09-18 23:07:09

Понизим порядок подменой $y'=u(x)$ , тогда $y''=u'(x)$ , получим

$(1+x^2)u'+u^2+1=0$ - уравнение с разделяющимися переменными

$\displaystyle \dfracdudx=\dfrac-1-u^2x^2+1\Rightarrow-\int\dfracdu1+u^2=\int\fracdx1+x^2\Rightarrow -\rm arctg\, u=\rm arctg\, x+C_1$

Выполнив обратную подмену $u=-\rm tg(\rm arctg\, x+C_1)$ , получим

$y'=-\rm tg(\rm arctg\, x+C_1)\\ \\ y=\displaystyle \int -\rm tg(\rm arctg\,x+C_1)dx$

$-\rm tg(\rm arctg\,x+C_1)=-\dfrac\rm tg(\rm arctg\, x)+\rm tg\, C_11-\rm tg(\rm arctg\, x)\rm tg\, C_1=\dfracx+\rm tg\, C_1x\rm tg\, C_1-1$

Тогда

$y=\displaystyle \int\dfracx+\rm tg\, C_1x\rm tg\, C_1-1dx=\int \bigg(\frac(\rm tg^2C_1+1)\rm ctg\, C_1x\rm tg\, C_1-1+\rm ctg\, C_1\bigg)dx=\\ \\ \\ =\left(\rm tg\, C_1+\rm ctg\, C_1\right)\int\fracdxx\rm tg\, C_1-1+\rm ctg\, C_1\int dx=\\ \\ \\ =(\rm tg\, C_1+\rm ctg\, C_1)\cdot \rm ctgC_1\lnx\rm tg\, C_1-1+x\rm ctg\, C_1+C_2=\\ \\ \\ =\boxed(\rm ctg^2C_1+1)\lnx\rm tg\, C_1-1+x\rm ctg\, C_1+C_2$

Suhovnina Tamara 2019-09-18 23:11:28

Хотел уточнить, на шаге расчёта интеграла куда пропадает x из числителя после первого равно? Не совершенно понятен переход от "x+tg C" к "(tg^2 C +1)*ctg C."

Кишкович Денис 2019-09-18 23:19:24

Я помножил числитель и знаменатель дроби на tg(C1) и потом разбил на две дроби

Виталий 2019-09-18 23:24:47

То что я разбил можете проверить что оно одинаково начальному выражению )

Варвара 2019-09-18 23:33:34

(x+tg(C1))*tg(C1) = xtg(C1) + tg^2(C1) = xtg(C1) + 1 + (tg^2(C1)-1)

Евгений 2019-09-18 23:34:47

Отсюда и разбиваете на две дроби

Лилия Манченко 2019-09-18 23:39:26

То что в знаменателе помножили tg(C1) мы можем его представить 1 / ctg(C1) и закинуть сразу в числитель

Константин Приставков 2019-09-18 23:41:44

Сообразил. Спасибо громадное. Вы мне очень посодействовали)

Ходжамиров Сергей 2019-09-18 23:45:38

На здоровье!)

Zatorkina Inna 2019-09-18 23:46:42

У вас описка в 2-х последних строках. Надобно x*сtgC1, а не x*ctgx .

Шамаханский Миша 2019-09-18 23:53:08

спасибо, благодарю за находчивость! Исправлю как только смогу

Валентина Беруган · Answer 2 · 2019-09-18 23:16:33+3:00

Валентина Беруган 2019-09-18 23:16:33

$(1+x^2)\cdot y''+(y')^2+1=0\; \; \; \to \; \; \; F(x,y',y'')=0\; \; \to \\\\u=y'(x)\; ,\; \; u'=y''\; ,\\\\(1+x^2)\cdot u'+u^2+1=0\; ,\; \; \fracdudx=-\frac1+u^21+x^2\; ,\\\\\int \fracdu1+u^2=-\int \fracdx1+x^2\\\\arctgu=-(arctgx+C_1)\; \; \Rightarrow \; \; u=-tg(arctgx+C_1)\\\\u=-\fractg(arctgx)+tgC_11-tg(arctgx)\cdot tgC_1\; ,\; \; \; (\; tgC_1=const\; ,\; \; tgC_1=C\; )\\\\u=-\fracx+C1-C\cdot x\; \; \to \; \; y'(x)=-\fracx+C1-C\cdot x$

$\fracdydx=-\fracx+C1-C\cdot x\\\\\int dy=-\int \fracx+C1-C\cdot x\, dx\; \; ,\; \; \int dy=\int \fracx+CC\cdot x-1\, dx\\\\y=\frac1C\cdot \int \fracx+Cx-\frac1C\, dx=\frac1C\cdot \int \Big (1+\fracC+\frac1Cx-\frac1C\Big )\, dx=\frac1C\cdot \int \Big (1+\fracC^2+1C\cdot \frac1x-\frac1C\Big )dx=\\\\=\frac1C\int dx+\fracC^2+1C\cdot \int \fracdxx-\frac1C=\frac1C\cdot x+\fracC^2+1C\cdot lnx-\frac1C+C_2\; ;$

$y=\fracxC+\fracC^2+1C\cdot ln\fracCx-1C+C_2$

$P.S.\; \; \int \fracx+CCx-1\, dx=\int \fracCx-1+1+C^2Cx-1\, dx=\int (1+\fracC^2+1Cx-1)dx=\\\\=x+(C^2+1)\cdot \frac1C\, lnCx-1+C_2\; ;\\\\\underline y=x+\fracC^2+1C\cdot lnCx-1+C_2\; ,\; \; C=tgC_1\; ,\; \frac1C=ctgC_1$

Максим Калента 2019-09-18 23:54:58

Благодарю за помощь. У Вас в решении тоже опечатка по-моему. Когда считаем интеграл - вторая строка перед P.S. - мы выносим (C^2+1)/C в качестве множителя за интеграл, при этом у нас теснее перед интегралом находится множитель 1/С. Они перемножаются и будет вроде как (С^2+1)/(C^2), т.е в знаменателе обязано быть C^2 в первом варианте записи ответа.

Арсений Тарабас 2019-09-19 00:04:52

Да, не помножила.

О проекте

Помогите решить дифференциальное уравнение второго порядка[tex](1+x^2)y039;039;+(y039;)^2+1=0[/tex]

Добро пожаловать!