В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадратABCD . Обратные

Если противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны, то апофемы этих граней с отрезком основания, равным стороне квадрата, образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Отсюда следует, что вышина пирамиды одинакова половине стороны основания.

1) Пусть середины рёбер MA и MB - это точки Е и К.

Отрезок ЕК как средняя линия боковой грани параллелен стороне основания АВ и, как следует, стороне СД.

Из задания вытекает, что плоскость альфа пересекает боковую грань ВМС по линии, параллельной ребру МС.

А из приведенного выше рассуждения следует, что основание пересекается по полосы РТ, параллельной стороне квадрата.

По подобию определяем, что точка пересечения плоскостью альфа стороны ВС (это точка Р) - середина ВС.

Так как 2 стороны угла ДСМ боковой грани параллельны плоскости альфа, то и ребро МД этой грани тоже параллельно плоскости альфа.

2) Примем длину стороны квадрата основания за 4 (для кратности).

Вышина пирамиды одинакова 2. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат вершиной Д в начало, ДА - по оси Ох, ДС - по оси Оу.

Определяем координаты точек: А и С для прямой АС и точек ЕКР для плоскости альфа.

А = (4; 0; 0), С = (0; 4; 0). Устремляющий вектор АС = (-4; 4; 0).

Обретаем уравнение плоскости альфа по координатам точек Е, К и Р.

Е = (3; 1; 1), К = (3; 3; 1), Р = (2; 4; 0).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - x1        y - y1         z - z1  = 0

x2 - x1      y2 - y1      z2 - z1

x3 - x1      y3 - y1       z3 - z1

x - 3          y - 1          z - 1  = 0

3 - 3          3 - 1          1 - 1

2 - 3          4 - 1          0 - 1

x - 3          y - 1           z - 1  = 0

 0              2               0

-1              3               -1

(x-3)(2(-1)-03) - (y - 1)(0 (-1)-0(-1)) + (z - 1)(03-2(-1)) = 0

(-2) (x -  3) +  0(y - 1) +  2(z - 1) = 0

 - 2 x  +  2z  +  4 = 0   или, сократив на -1, имеем: x - z - 2 = 0.

sin = cos =   s q s q  =

=   sx qx + sy qy + sz qz /(sx + sy + sz) (qx + qy + qz)  =

=   1 (-4) + 0 4 + (-1) 0 /(1 + 0 + (-1)) ((-4) + 4 + 0)  =

=   -4 + 0 + 0 /(1 + 0 + 1) (16 + 16 + 0)  =

=   4 /(2 32)  =    4 /64  = 0,5.

= 30.