Узнай, сколько прямых проходит через различные пары из 37 точек(и),  три из которых

Одной из первых аксиом геометрии, относящейся к обоюдному расположению точек и прямых на плоскости, является аксиома о том, что через любые две точки плоскости проходит единственная ровная.  

Поначалу осмотрим задачи, идущие с нарастанием трудности.

1. Сколько прямых проходит через разные пары из трёх точек, не лежащих на одной прямой?

image

Ответ: 3

2. Сколько прямых проходит через разные пары из 4 точек, три из которых не лежат на одной прямой?

image

Ответ: 6

3. Сколько прямых проходит через разные пары из 5 точек, три из которых не лежат на одной прямой?

image

Ответ: 10

Дальше, перейдём к более сложному варианту:

4. Сколько прямых проходит через разные пары из n точек, три из которых не лежат на одной прямой?

Решение.

Пусть A1, , An n точек, три из которых не лежат на одной прямой. Для построения таких точек довольно отметить их на окружности.  

image

Выясним, сколько прямых проходит через точку A1 и оставшиеся точки. Так как число оставшихся точек одинаково n1 и через каждую из их и точку A1 проходит одна ровная, то разыскиваемое число прямых будет одинаково n1.

Заметим, что рассуждения, проведённые для точки A1, правосудны для хоть какой точки. Поскольку всего точек n и через каждую из них проходит n1 ровная, то число посчитанных прямых будет одинаково n(n1). Так как, при обозначенном выше подсчете мы каждую прямую посчитали два раза и потому число прямых, проходящих через разные пары из n данных точек, одинаково  n(n1)2.  

В данном случае n=27. Подставив значение в формулу получим: