Обследуйте и постройте график функции у=х^2(x-2)^2Все подробно опишите и постройте график

Дана функция у=х^2(x-2)^2.

1) Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).  х (-; +).

2) Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.  Нет.

3) Найти точки скрещения с осями координат.

С осью Оу: х = 0,  у = 0.  

С осью Ох: у = 0, х(х - 2) = 0.  

х1 = 0,    х - 2 = 0,   х2 = 2.

4) Установить, является ли функция чётной либо нечётной.

Так как переменная в квадратичных множителях - функция чётная.

5) Найти, является ли функция повторяющейся или нет (только для тригонометрических функций).  Не повторяющаяся.

6) Отыскать точки экстремума и интервалы монотонности.

Производная одинакова: y' = 4x(x - 3x + 2).

Приравняем нулю: 4x(x - 3x + 2) = 0.   х1 = 0.

x - 3x + 2 = 0.

Отыскиваем дискриминант:  D=(-3)^2-4*1*2=9-4*2=9-8=1;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(1-(-3))/(2*1)=(1-(-3))/2=(1+3)/2=4/2=2;

x_2=(-1-(-3))/(2*1)=(-1-(-3))/2=(-1+3)/2=2/2=1.

Имеем ещё 2 точки экстремума: х2 = 2 и х3 = 1.

Находим знаки производной на приобретенных интервалах:

х = -1   0 0,5   1 1,5    2     3

y' =  -24   0 1,5   0 -1,5    0      24

В точках х = 0 и х = 2 минимум функции, у = 0,

В точке х = 1 максимум функции, у = 1.

На интервалах (0; 1) и (2; +) функция подрастает.

На интервалах (-; 0) и (1; 2) функция убывает.

7) Отыскать точки перегиба и интервалы неровности-вогнутости.

2-ая производная функции одинакова: y'' = 4(3x - 6x + 2).

Приравняем нулю множитель в скобках: 3x - 6x + 2 = 0.

Ищем дискриминант:  D=(-6)^2-4*3*2=36-4*3*2=36-12*2=36-24=12;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(12-(-6))/(2*3)=(12+6)/(2*3)=(12+6)/6=12/6+6/6=(3/3)+1 1,57735;

x_2=(-12-(-6))/(2*3)=(-12+6)/(2*3)=(-12+6)/6=-12/6+6/6=(-3/3)+1 0,42265.

Обретаем знаки 2-ой производной на приобретенных промежутках:

x =  0       0,42265       1             1,57735            2

y'' = 8     0             -4                    0               8 .

На промежутках (-; (-3/3)+1)) и ((3/3)+1); +) график вогнутый.

На промежутке ((-3/3)+1); (3/3)+1)) график выпуклый.

8) Отыскать наклонные асимптоты. Изучить поведение на бесконечности.  Асимптот нет.

9) Избрать дополнительные точки и вычислить их координаты.

y(x)=x(x2).

Таблица точек

x y

-0.6 2.43

-0.4 0.92

-0.2 0.19

0 0

0.2 0.13

0.4 0.41

0.6 0.71

0.8 0.92

1.0 1

1.2 0.92

1.4 0.71

1.6 0.41

1.8 0.13

2.0 0

2.2 0.19

2.4 0.92

2.6 2.43

10) Выстроить график и асимптоты. Дан в прибавлении.