Здрасти! У меня появились трудности с таким вопросом: Вопрос 5Докажите, что

1.

Если  3 -1(mod10),  то 3 -1(mod10). Доказать.

Решение.

1) По условию выражение 3 -1(mod10) правильно.

Выражение  3 -1(mod10) означает, что при делении числа 3 на 10 выходит остаток (-1),

по другому

чтобы число 3 разделилось на 10 без остатка, ему не достаёт 1, означает,

число (3 +1) делится на 10 без остатка по условию.

2) Рассмотрим 2-ое  выражение 3 -1(mod10).

Нужно обосновать, что при разделении числа 3 на 10 выходит

остаток (-1).

по другому

Необходимо обосновать, что число (3+1) делится на 10 без остатка.

Преобразуем:

3 + 1 = 3 * 3 + 1 = 3*81 + 1 = 3 * (80+1) + 1 = 3*80 + 3 + 1 =

= 80*3 + (3+1)

Очевидно, что 803  делится на 10 без остатка, т.к. 80:10=8;

(3+1) делится на 10 без остатка по условию

Число (3+1) =  80*3 + (3+1)  состоит из 2-ух слагаемых, каждое из которых делится на 10 без остатка, означает, и само число (3+1) делится на 10 без остатка. Подтверждено.

2.

Аналогичное доказываем и 2-ое.

Если  2 1(mod13),  то 2 1(mod13). Обосновать.

Решение.

1) По условию выражение 2 1(mod13) верно.

Выражение  2 -1(mod13) означает, что при дробленьи числа 2 на 13 выходит остаток 1.

Означает, это число 2 разделится на 13 без остатка, если отнять остаток, т.е. отнять 1.

Получаем, что выражение (2 -1) делится на 13 без остатка по условию.

2) Рассмотрим 2-ое  выражение 2 1(mod13).

С таким же остатком 1, потому необходимо обосновать, что число (2-1) делится на 13 без остатка.

Преобразуем:

2 - 1 = 2 * 2 - 1 = 2*4096 - 1 = 2 * (4095+1) - 1 =

= 2*4095 + 2 - 1 = 4095*3 + (2-1)

Число 4095:13 = 315, означает, 1-ое слагаемое 40952  делится на 13 без остатка,

второе слагаемое (2-1) делится на 13 без остатка по условию,

значит,

число (2-1), состоящее из из двух слагаемых, каждое из которых делится на 13 без остатка. Подтверждено.

1) 81=8*10+1, т.е. 3^4==1(mod10), пользуясь свойством сравнения по модулю, умножим это тождество на данное, получим равносильное: 3^4*3^n== 1*(-1)(mod13), или 3^(n+4) == -1(mod13), чтд
2) 2^12*2n == 1*1(mod13), 2^(n+12) == 1(mod13), чтд