sinx+cosx=2.5+5sinx*cosx

$sinx+cosx=2,5+5sinx\cdot cosx\\\\Zamena:\; \; t=sinx+cosx\\\\t^2=(sinx+cosx)^2=\underbrace sin^2x+cos^2x_1+2sinx\cdot cosx=1+2sinx\cdot cosx\; \to \\\\2sinx\cdot cosx=t^2-1\; ,\quad sinx\cdot cosx=\fract^2-12\\\\t=2,5+5\cdot \fract^2-12\; \; ,\; \; \; t=\frac52+\frac5(t^2-1)2\; \; ,\; \; 2t=5+5t^2-5\; ,\\\\5t^2-2t=0\; \; ,\; \; \; t\, (5t-2)=0\; \; \to \; \; t=0\; \; ili\; \; 5t-2=0\\\\a)\; \; t=0\; \; ,\; \; \; sinx+cosx=0\, :cosx\ne 0\; ,\\\\tgx+1=0\; \; ,\; \; tgx=-1\; ,\\\\x=-\frac\pi4+\pi n\; ,\; n\in Z$

$b)\; \; 5t-2=0\; \; ,\; \; t=\frac25\; \; ,\; \; sinx+cosx=\frac25 \; ,\\\\sinx+sin(\frac\pi2-x)=\frac25\\\\2sin\fracx+(\frac\pi2+x)2\cdot cos\fracx-(\frac\pi2-x)2=\frac25\\\\2sin(x+\frac\pi4)\cdot cos(-\frac\pi4)=\frac25\\\\\sqrt2\cdot sin(x+\frac\pi4)=\frac25\\\\sin(x+\frac\pi 4)=\frac\sqrt25\\\\x+\frac\pi4=(-1)^n\cdot arcsin\frac\sqrt25+\pi n\; ,\; n\in Z\\\\x=-\frac\pi 4+(-1)^n\cdot arcsin\frac\sqrt25+\pi n\; ,\; n\in Z$

$Otvet:\; \; x=-\frac\pi4+\pi n\; ,\; \; x=-\frac\pi 4+(-1)^n\cdot arcsin\frac\sqrt25+\pi n\; ,\; n\in Z\; .$

Злата Быртова 2019-09-22 16:53:47

ваши решения безукоризненны как всегда-спасибо!

Арсений Бабейский 2019-09-22 17:03:36

:)))

Алина 2019-09-22 17:11:53

Во варианте б) решения было sin x + sin(Pi/2 - x) = 2/5. А при сложении почему-то стало 2sin(x + (Pi/2 + x)) *cos(...) Я не очень сообразил, откуда взялось Pi/2 + x, ведь до этого был минус(

Regina Chebeleva 2019-09-22 17:16:57

описка, нужен минус, окончательно

О проекте

sinx+cosx=2.5+5sinx*cosx

Добро пожаловать!