Отыскать площадь фигуры, ограниченной линиями x^2 и 2x-x^2:

Да, решить можно с поддержкою интегралов. Для себя живописуем графики функий: у=-х^2+2х это перевернутая парабола, у=-х - ровная. Точки скрещения графиков: х=0 и х=3. Видим, что данные графики образуют ограниченную фигуру - сверху дуга параболы, снизу - часть прямой.  

Площадь = интеграл от 0 до 3 ( -х^2+2х - (-х) ) = интеграл от 0 до 3 ( -х^2+3х ) = ( -х^3/3+3х^2/2 ) от 0 до 3 = -3^3/3+3*3^2/2 = -9+27/2 = 4,5