Даю 50 баллов! Безотлагательно!!! Пусть a,b,c - длины сторон какого-то треугольника.

Надобно доказать, что для сторон треугольника выполнено неравенство

ab+bc+ca+ab+bc+cagt;a+b+c+2abc. Трюк, который я собираюсь использовать, выдуман не мной, но он очень эффективен в сходственного типа задачах. Он сводится к тому, что мы используем замены a=x+y; b=x+z; c=y+z. То, что такие положительные x, y, z есть (и, кстати, определены совершенно точно) следует из способности вписать в треугольник окружность. Стороны точками касания при  этом оказываются разбиты на отрезки, которые разбиваются на три пары одинаковых отрезков - это следует из равенства отрезков касательных. Превосходство таковой замены следует из того, что в отличие от сторон треугольника, которые связаны неравенством треугольника, отрезки x, y и z могут быть хоть какими. После обозначенной подмены и приведения сходственных членов (окончательно, это просит некоторых способностей и аккуратности) получаем неравенство

2(x+y+z)+5(xy+xy+xz+xz+yz+yz)+12xyzgt;

2(x+y+z)+5(xy+xy+xz+xz+yz+yz)+4xyz,

которое явно.

a+c gt; b ;  a+bgt;c  ;  b+c gt;a   (неравенство треугольника )                

 ( a -b+c) ( a+b-c)(b+c-a) gt;0 ( a-(b-c))( a+(b-c))( b+c -a) gt;0

( a-b+2bc-c) ( b+c-a) gt;0 ab+ac-a-b-

bc+ab+2bc+2bc-2abc -cb -  c +ca gt; 0   ab + ac + ab +

bc + bc  +ca gt; a +b +c + 2abc