Докажите, что действительные числа, представимые повторяющимися десятичными дробями, являются

Если на словах. Повторяющаяся дробь является суммой из исходной части, которая является разумным числом и из последовательности чисел, каждое из которых подходит повторяющейся группе цифр. Эта последовательность является бесконечной геометрической прогрессией, начальный член которой разумное число, а знаменатель тоже разумный (ступень 10-ки). Таким образом, сумма этой прогрессии (по известной формуле) тоже рациональна. Остается сложить эти два разумных числа и получить разумной значение у всей повторяющейся дроби.