Представляю для вас самый уникальный путь решения этого уравнения,такового вы точно никогда не видели :)
Можно решать влом: возводим в квадрат, удвоенное творение уходит. Решаем кубическое уравнение в котором некие корешки будут лишними,потому придется делать проверку.(Через систему тоже ничего хорошего здесь не выйдет,кубического уравнения все одинаково не избежать) Я предлагаю очень хитрый способ без решения кубического уравнения. Интригует?
Наше уравнение:
(x+1)*(x+2) +4x=x*(x+1) +4*(x+2) (одз xgt;=-1)
Если возвести его в квадрат . получим слева и справа однообразное двойное произведение: 8x*(x+1)*(x+2) ,то есть оно сокращается.
А другие выражения представляют собой квадраты каждого из членов и после преображенья они сведутся к кубическому уравнению ,которое будет иметь как и посторонние корни ,так и корешки являющиеся решением данного уравнения.И
И вот очень оригинальная идея!
Осмотрим последующее уравнение:
(x+1)*(x+2) -4x=x*(x+1) -4*(x+2)
И что же будет если его возвести в квадрат? Верно, абсолютно тоже самое кубическое уравнение, что и в 1 случае!!!
Удвоенное творенье: -8x*(x+1)*(x+2) точно так же сокращается в обоих случаях. А квадраты то те же самые друзья!
Но что же это означает?
А вот что!
Уравнения:
((x+1)*(x+2) +4x)^2 -(x*(x+1) +4*(x+2))^2=0
((x+1)*(x+2) -4x)^2-(x*(x+1) -4*(x+2))^2=0
Имеют безусловно схожие корешки, которые безусловно точно содержат в для себя корни исходного уравнения (их может быть не более 3-x тк это кубическое уравнение)
Используя формулу разности квадратов каждое уравнение приводится к обычному виду: ((x+1)*(x+2) +4x+ (x*(x+1) +4*(x+2) )*((x+1)*(x+2) +4x-((x*(x+1) +4*(x+2) )=0
((x+1)*(x+2) -4x+ (x*(x+1) -4*(x+2) )*((x+1)*(x+2) -4x-((x*(x+1) -4*(x+2) )=0
То есть получаем 4 разных уравнения!
Тк сумма множеств корней первого и второго уравнения, одинакова сумме множеств корней третьего и 4-ого уравнения. То некоторые из пар уравнений: 1) ,3) ; 1),4) ; 2) ,3) ; 2),4) будут содержать общие корешки! И все общие корешки во всех различных парах и будут 3-мя корнями полученного кубического уравнения!
И вот главная идея! Если уравнения содержат общие корешки, то уравнение являющееся их суммой или разностью либо линейной композицией неминуемо будут иметь эти общие корешки! Тк a*0+-b*0=0
Осмотрим все четыре пары:
1) (x+1)*(x+2) +4x+ (x*(x+1) +4*(x+2) ) =0
(x+1)*(x+2) -4x+ (x*(x+1) -4*(x+2) )=0
Вычитаем уравнения:
8x +8*(x+2) =0
x=-(x+2) -2lt;xlt;0
x^2=x+2
x^2-x-2=0
x1=2(не подходит) ; x2=-1
Если пара имеет общий корень, то он равен x=-1
2) (x+1)*(x+2) +4x+ (x*(x+1) +4*(x+2)) =0
(x+1)*(x+2) -4x-( x*(x+1) -4*(x+2) )=0
Складываем уравнения:
2* (x+1)*(x+2) +8*(x+2)=0
(x+2) *((x+1) +4)=0
x=-2
(x+1)=-4 (решений нет)
Если общий корень существует ,то он равен x=-2
3) (x+1)*(x+2) +4x-( x*(x+1) +4*(x+2) )=0
(x+1)*(x+2) -4x+ (x*(x+1) -4*(x+2) )=0
Cкладываем:
2* (x+1)*(x+2)-8*(x+2)=0
(x+1)*(x+2)-4(x+2)=0
(x+2)*((x+1) -4)=0
x=-2
(x+1)=4
x+1=16
x=15 (а вот и наш новый очень интригующий кандидат !)
4) (x+1)*(x+2) +4x-( x*(x+1) +4*(x+2) )=0
(x+1)*(x+2) -4x-( x*(x+1) -4*(x+2) )=0
Вычитаем уравнения:
8x-8*(x+2) =0
x=(x+2) (xgt;0)
x^2-x-2=0
x1=-1 (не подходит)
x2=2
Итак у нас 4 кандидата на роль корней нашего уравнения: x=-1 ;x=-2(не удовлетворяет ОДЗ) ; x=2 ; x=15 (в этом обилье корней содержатся все корешки нашего уравнения) . Осталось подстановкой этих корней в уравнение выяснить какие из них подходят.
После проверки можно удостоверится , что
x1=2 , x2=15
Ответ: x1=2 ; x2=15
2) способ.
И что вы размышляете?
Окончательно с решением перемудрил.
Это уравнение просто раскладывается на множители:
(x+1) *(x+2 -x) -4*((x+2)-x)=0
(x+2 -x)*(x+1 -4)=0
x+2 -x=0
x+2=x xgt;=0
x+2=x^2
x^2-x-2=0
x1=-1 (не подходит)
x2=2
x+1=4
x+1=16
x=15
Ответ: x1=2 ; x2=15. Вот так вот! Разложение на множители посещает даже там где его не ждёшь узреть! Даже я не увидел! Будьте крайне внимательны друзья!
-
Вопросы ответы
Статьи
Информатика
Статьи
Математика.
Разные вопросы.
Разные вопросы.
Математика.
Разные вопросы.
Математика.
Физика.
Геометрия.
Разные вопросы.
Обществознание.