Растолкуйте решение задания по теории чисел. 98 баллов.

Обозначения:

- числа которые написаны на доске, при этом условимся что .

- сумма этих чисел, т.е. .

- остаток от дробления a на r, равен остатку от деления b на r.

Решение:

Выберим какое-нибудь число на дощечке - (где ). Тогда, из условия следует что (т.е. делится на n-1).

Отюда в частности получаем, . Как следует, (где, какие-то натуральные числа), и очевидно что . Т.е. делится на n-1.

Отсюда выводим, и окончательно же, . Из-за того что (т.к. на доске больше 3 чисел), понятно что производится . Этот факт, дает нам заключить, что 1 является остатком при дроблении на (см. Аксиома о разделеньи с остатком).

Так как наши выводы не зависят от , это верно для хоть какого. Проще разговаривая, каждое число на доске, при делении на n-1 дает остаток 1.  

Таким образом, мы нашли необходимое условие для того что-бы условие задачки производилось.

Сейчас докажем, что это же условие - "каждое число на дощечке, при разделении на n-1 дает остаток 1" - является достаточным условием.

Так как то

т.е. . Ч.Т.Д.

Сейчас, мы с легкостью можем ответить на а) и б).

а) Предположим, что 5 написано на дощечке. Тогда, из нужного условия, следует что , т.е. что 4 делится на n-1. Но, 4 делится только на себя, 2 и 1. Так как,  , то т.е. .

Три числа нам уже известны, подберем 2 других с поддержкою достаточного условия - нам необходимы числа которые при разделеньи на 4 дают остаток 1. Такие числа, к образцу, могут быть 9 и 17.

Т.е. если на дощечке написаны к образцу 1, 5, 9, 17 и 1501. То условие задачки выполняется. Как следует, 5 может быть на дощечке.

б) Представим, что 12 написано на дощечке. Тогда, из необходимого условия следует что 11 делится на n-1. Т.к. 11 обычное число и n-1 больше единицы, n-1 должен быть 11. Т.е. . Но, из того же условия выводим что 1500 делится на 11, что в корне не правильно.

Как следует, 12 не может быть на дощечке.

в) Очевидно что для всех 2-ух чисел (на дощечке), производится - , а также . Как следует, , что эквивалентно (из-за того что целые числа) .

Потому,  , т.е. разности каждых 2-ух чисел обязано быть больше либо одинаково (n-1).

Для того что бы отыскать наибольшее n, при котором первое число - 1 и последнее - 1501, нам необходимо минимизировать разницу между всеми поочередными числами, т.е.  . Из неравенства которое мы вывели, следует что наибольшая минимизация - .

Т.е., самая великая последовательность чисел на дощечке будет последующей: . Но, в таком случае , т.е.  , но 1500 не четкий квадрат, потому разобьем его на творение двух чисел, да так, что-бы (т.к. четкое решение 1500=(n-1)(n-1) будет ). Единственное такое число, которое является наибольшим и выполняет данное требование - n = 31. Т.к. 1500 = 50 * 30.