Найдите все обыкновенные числа p и q,что p+qи p + q

1) Пусть оба числа непарные. Тогда p^2, p^3, q^2, q^3 тоже непарные. Так как сумма непарных одинакова парному числу, то p^2+q^3 и p^3+q^2 парные. Но p,q непарные (означает pgt;2, qgt;2) и тогда p^2+q^3gt;4+8=12gt;2 и оно не может быть простым. 2-ое число аналогично.

2) Тогда без утраты общности, пусть p парное. Так как оно обычное, то p=2.

2.1) Пусть q не делится на 3. Тогда q^2 дает остаток 1 при делении на 3. (Действительно, пусть q=3a+b, где b - остаток при дроблении q на 3. b может приравниваться 1 или 2 (из предположения), и поэтому q^2=(3a+b)^2=9a^2+6ab+b^2 дает таковой же остаток, как и b^2 при делении на 3. Но b^2=1 или b^2=4, в обоих случаях дает остаток 1).

Осмотрим число p^3+q^2=8+q^2, оно дает таковой же остаток как и 8+1=9 при разделении на 3. То есть делится на 3. Также 8+q^2gt;8gt;3. А значит не является обычным.

2.2) Значит q делится на 3. Так как оно простое, то q=3. Проверяем: p^2+q^3=4+27=31 обычное и p^3+q^2=8+9=17 обычное.

Аналогично рассматривается случай, когда q=2. (Так как числа p^2+q^3 и q^2+p^3 симметричны относительно p и q, то ответ тоже будет симметричен, а означает q=2 и p=3).

Ответ: p=2, q=3 или же p=3, q=2.