Помогите, прошу ! даю все баллы, что есть.. задание - Найти

Question

Помогите, прошу ! даю все баллы, что есть..

задание - Отыскать приватное решение линейного неоднородного уравнения 2-го порядка.

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Jemilija · Answer 1 · 2019-09-27 12:13:08+3:00

Отыскать приватное решение линейного неоднородного уравнения 2-го порядка.

Метод решения неоднородного ДУ следующий:

1) Поначалу необходимо отыскать общее решение подходящего однородного уравнения y+y-2y=0

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\displaystyle k^2+k-2=0\\\\D=1+8=9\\\\k_1=1; k_2=-2$

получены разные действительные корешки, поэтому общее решение:

$\displaystyle y=C_1*e^-2x+C_2*e^x$

2) Сейчас необходимо найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения

в правой части 4e-2x+1. Означает предположу что приватное решение неоднородного уравнения необходимо отыскивать в виде: y=Аe+Bx+C

Найдём первую и вторую производную:

$\displaystyle y=(A*e^2x+Bx+C)=2A*e^2x+B\\\\y=(2A*e^2x+B)=4A*e^2x$

подставим в левую часть

$\displaystyle y+y-2y=4A*e^2x+(2A*e^2x+B)-2(Ae^2x+Bx+C)=\\\\=4Ae^2x+2Ae^2x+B-2Ae^2x-2Bx-2C=\\\\=4Ae^2x-2Bx+(B-2C)$

и сейчас приравняем к правой

$\displaystyle 4Ae^2x-2Bx+(B-2C)=4e^2x-2x+1$

отсюда составим систему

$\displaystyle \left \ 4A=4; -2B=-2 \atop B-2C=1 \right. \]\\\\A=1; B=1;C=0$

3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:

$\displaystyle y=C_1e^-2x+C_2*e^x+e^2x+x$

4) сейчас найдем приватное решение

y(0)=3; y(0)=5

$\displaystyle y(0)=C_1+C_2+1=3; C_1+C_2=2\\\\y(0)=-2C_1+C_2+2=5; C_2-2C_1=3\\\\$

решая систему получим

$\displaystyle C_2=2-C_1\\\\2-C_1-2C_1=3; C_1=-\frac13\\\\ C_2=\frac73$

Ответ:

$\displaystyle y= -\frac13e^-2x+\frac73e^x+e^2x+x$