решите уравнение в целых числах 5x+3y= 11

5x+3y= 11

Методом подбора находим приватные решения:

при х=1 и у=2

5+6=11

при х=4 и у=-3

20-9=11

Найдём общее решение.

Выразим х.

5х = 11-3у

х = (11-3у)/5

Для того, чтоб х получился целым числом, необходимо, чтоб числитель 11-3у был кратен 5. Это вероятно, если он равен числу, кончающемуся на 0 либо 5, т.е. 11-3у = m0 либо 11-3у = m5, где m - старшие разряды. Тогда 3у =11- m0 = k1 или 3y =11- m5 = k6, где k - старшие разряды.

Для нахождения наименьшего целого числа, удовлетворяющего приобретенным условиям, необходимо бросить только младший разряд, то есть разряд единиц.

3у = 1 3у = 6

у =1/ 3 у = 2

Итак, минимальным целым числом, удовлетворяющем условию, будет 2. Следующее число, кратное 5, будет на 5 больше отысканного, т.е. 2+5=7, последующее - ещё на 5 больше и т.д.

Как следует, для у можно записать

у = 2+5n, где n =0; 1; 2; ...;

Отсюда найдём х:

х = (11-3(2+5n))/5 = (11-6-15n)/5 = (5-15n)/5 = 5(1-3n)/5 = 1-3n, где n =0; 1; 2; ...;

Но целые числа бывают также отрицательными. Найдём решение для отрицательных чисел.

5х = 11+3(-у)

x = (11+3(-у))/5

Для того, чтоб х вышел целым числом, необходимо, чтобы числитель 11+3(-у) был кратен 5. Это вероятно, если он равен числу, кончающемуся на 0 или 5, т.е. 11+3(-у) = m0 либо 11+3(-у) = m5, где m - старшие разряды. Тогда 3(-у) = m0-11 = k9 либо 3(-у) = m5-11 = k4, где k - старшие разряды.

Для нахождения меньшего целого числа, удовлетворяющего приобретенным условиям, нужно бросить только младший разряд, то есть разряд единиц.

3(-у) = 9 3(-у) = 4

-y = 3 -y = 4/3

Итак, наименьшим целым числом, удовлетворяющем условию, будет 3. Последующее число, кратное 5, будет на 5 больше отысканного, т.е. 3+5=8, последующее - ещё на 5 больше и т.д.

Как следует, для у можно записать

-y = 3+5n

y =-(3+5n), где n = 0; 1; 2; ...;

Отсюда найдём х:

х = (11+3(3+5n))/5 = (11+9+15n)/5 = (20+15n)/5 = 5(4+3n)/5 = 4+3n

Итоговый ответ:

Для спектра отрицательных чисел:

y =-(3+5n),

где n = 0; 1; 2; ...;

х =4+3n,

Для спектра положительных чисел:

у = 2+5n,

где n =0; 1; 2; ...;

х = 1-3n,