Установить, сходится или расползается знакочередующийся ряд, если сходится, то узнать каким

Ответ:

условно сходится

Изъяснение:

Для выяснения сходимости ряда используем признак Лейбница.

Явно, что

1. , так как с увеличением номера n увеличивается знаменатель, а с ростом знаменателя дробь становится все меньше и меньше;

2.

Полагаюсь, данный факт ясен.

Два условия выполнены, следовательно, ряд по признаку Лейбница сходится.

Выясним вопрос условно безусловной сходимости. Для этого необходимо осмотреть подходящий ряд из модулей начального ряда.

Напомню, что модуль "съедает" множитель вида  . Значит, общий член нового ряда имеет вид .

Для установления сходимости данного ряда используем интегральный признак Коши. Это можно сделать, так как  действительнозначная функция

неотрицательна, постоянна и убывает на промежутке

Можно осмотреть несобственный интеграл. Исследуем его на сходимость. подробности в приложенном файле.

Итак,  получена бесконечность, стало быть, несобственный интеграл расползается.

Ряд сходится или расползается вкупе с несобственным интегралом. То есть, расползается.                                   

Таким образом, сам ряд сходится. Но ряд из модулей расходится, что исключает абсолютную сходимость ряда. А сходящийся ряд, не сходящийся абсолютно, сходится условно.