ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ. МОЖНО ПОЖАЛУЙСТА ТОЛЬКО ТАБЛИЦУ И ГРАФИК. 3х^2-х^3

1. Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:  

График пересекает ось Оу, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 3x-x.

у = 3*0-0 = 0,

Итог: y=0. Точка: (0; 0).

2. Точки скрещения графика функции с осью координат Ох:  

График функции пересекает ось Ох при y=0, означает, нам надобно решить уравнение:  

3x-x= 0

Решаем это уравнение: 3x-x = х(3 - x) = 0.

Получаем 2 корня: х = 0 и х = 3.

Результат: y=0. Точки: (0; 0 и (3; 0).

3. Экстремумы функции:  

Для того, чтоб отыскать экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корешки этого уравнения будут экстремумами данной функции:  

y' = 6х - 3x = 0

Решаем это уравнение и его корешки будут экстремумами:  

3x(2 - х) = 0, получаем 2 точки:

х1 = 0,  х2  = 2.

Результат: y=0. Точки: (0; 0) и (2; 4).

4. Интервалы возрастания и убывания функции:  

Найдены 3 промежутка монотонности функции: (-; 0), (0; 2) и (2; +).  

На этих интервалах находим знаки производной.  

Где производная положительна - функция вырастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса изменяется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = -1 0 1 2 3

y' = -9 0 3 0 -9

Минимум функции в точке: х = 0,

Максимум функции в точке: х = 2.

Подрастает на интервале: (0; 2).  

Убывает на интервалах: (-; 0) U (2; +).

5. Точки перегибов графика функции:  

Найдем точки перегибов для функции, для этого надобно решить уравнение y''=0 - вторая производная приравнивается нулю, корни приобретенного уравнения будут точками перегибов обозначенного графика функции:  

y' '= 6 6х = 0.

Решаем это уравнение и его корешки будут точками, где у графика перегибы:  

6 6х = 6(1 х) = 0.

х = 1. Точка: (1; 2)

6. Интервалы неровности, вогнутости:  

Найдем интервалы, где функция выпуклая либо вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов: где 2-ая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.

x = 0 1 2

y'' = 6 0 -6

Вогнутая на интервалах: (-; 1).

Выпуклая на интервалах: (1; +).  

7. Вертикальные асимптоты нет.  

   Горизонтальные асимптоты графика функции:  

Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x-gt;+ и x-gt;-. Соотвествующие пределы обретаем:  

lim 3x2-x3, x-gt;+ = -, означает, горизонтальной асимптоты справа не существует

lim 3x2-x3, x-gt;- = , означает, горизонтальной асимптоты слева не существует

Наклонные асимптоты графика функции:  

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при  

Обретаем коэффициент k:

k=lim(x)(-x^3+3x^2)/x=-.

Так как коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

8. Четность и нечетность функции:  

Проверим функцию - чётна либо нечётна - с поддержкою соотношений f(-х) = f(x) и f(-х) = -f(x).

Итак, проверяем:

y(-x) = -(-x) + 3(-x) = x + 3x