sin x + cos x = -1.

$\frac1\sqrt2 Sinx+\frac1\sqrt2 Cosx=-\frac1\sqrt2\\\\Cos\frac\pi 4Sinx+Sin\frac\pi 4Cosx=-\frac1\sqrt2 \\\\Sin(x+\frac\pi 4)=-\frac1\sqrt2 \\\\x+\frac\pi 4=(-1)^narcSin(-\frac1\sqrt2)+\pi n,n\in z\\\\x+\frac\pi 4=(-1)^n+1\frac\pi 4+\pi n,n\in z\\\\x=(-1)^n+1\frac\pi 4-\frac\pi 4+\pi n,n\in z$

Лариса Ковех · Answer 2 · 2019-09-30 02:39:54+3:00

Замена: x=t+; sin(x+)+cos(t+)=-1; -sin t-cos t=-1; sin t+cos t=1. Напомню, что синус и косинус не могут принимать значения великие 1. Потому если sin t либо cos t lt;0 (либо оба), их сумма не может приравниваться 1. Потому t должен принадлежать первой четверти. Ясно, что t=2n и t=(/2)+2n являются решениями. Докажем, что других решений в первой четверти нет. Достаточно (в силу периодичности синуса и косинуса) обосновать, что нет решений при t(0;/2). Но это явно, так как в этом случае sin t и cos t являются катетами прямоугольного треугольника с гипотенузой 1, а по неравенству треугольника сумма 2-ух сторон треугольника всегда больше третьей.

Итак, мы отыскали значения для t, остается написать ответ для x.

Ответ: +2n, nZ; (3/2)+2n, nZ

О проекте

sin x + cos x = -1.

Добро пожаловать!