Даю 60 баллов прошу помогите !!!При каком меньшем значении натурального числа

Ответ:

Минимальное n=51

Разъясненье:

n^3+7^(2050)=n^3+  49^(1025)=n^3+(50-1)^1025

(50-1)^(1025)   -разложение бинома ньютона  ,в котором  все члены содержащие  50^2 кратны  100.    Заключительный член равен: (-1)^1025=-1

А  предпоследний равен  50*k .  Тк  степень  1025  нечетна,то  сообразно разложению бинома предпоследний коэффициент n  нечетен. (все остальные члены содержат ступень 50^2  cоответствено кратны  100)

Тогда  50*n ,кончается на  50,то есть  остаток от дробленья на  100  этого числа равен  50.

А  общий остаток от разделенья  числа

(50-1)^1025  на  100  равен:  50-1=49

Соответственно:

n^3+49  должно быть  кратно  100

Нужно найти минимальное  n^3  которое кончается на  51

n^3=100*k +51  k-естественное  число

n^3=50*(2k+1)+1

Так же явно,  что  51^3=(50+1)^3  кончается  на   51  тк  3 нечетное число,это  следует из тех же рассуждений что и в  (50-1)^1025  ,только здесь  1^3=1 ,как следует оканчивается на  51 (дает остаток  51  при  делении  на 100).   Явно, что  n=51  самый вероятный  кандидат на  минимальное n.

Осталось обосновать  , что естественное   число  nlt;51 (возведенное в куб не  может оканчиваться на  51)

Представим что такое число существует, тогда

явно  что : n=(10*r+1)    rlt;5 ,тк  число  обязано кончатся на цифру  1.

Тк  только  цифра 1^3  заканчивается на 1.

(10*r+1)^3=50*(2k+1) +1

(10*r+1)^3 -1^3=50*(2k+1)   (применим формулу разности кубов)                          n^3-1^3=(n-1)*(n^2+n+1)

(10*r)*( (10*r+1)^2 +10*r+2)=50*(2k+1)

r*(100*r^2 +30r +3)=5*(2k+1)  ,то  есть левое число обязано делится на 5.

Явно  ,что 100*r^2+30*r+3  не делится на 5  тк  все члены кроме 3-х  кратны 5.  Откуда .так как число 5 простое,то  r  обязано быть кратно  5,  но  rlt;5 ,то  есть  r не  может  быть кратно  5.

Мы  пришли к  противоречию,то есть такое невероятно.

Вывод:  n=51