ДАМ 30 БАЛЛОВ!!! a,b,c-разно попарно естественные числа. Отыскать все тройки (a,b,c)

Ответ:  с=7 ;a=13 ;b=25  

             a=7; b=13; c=25

             b=7;с=13 ; a=25

Разъясненье:

Мы  знаем,  что a,b,c различные естественные числа.

Представим,  что  выполнены сразу 3 неравенства:

agt;b ; bgt;c ;сgt;a , (требовательных неравенств нет  тк числа различны)

но  тогда:      agt;bgt;cgt;a ,то  есть agt;a ,что  невозможно.

Вывод: обязано выполнятся желая  бы  одно из ниже перечисленных неравенств.

alt;b ,или blt;c ,или сlt;a

1) Осмотрим случай когда: alt;b

тогда  2alt;2b

Из  условия имеем:

2a-1=b*k ,где k-натуральное  число

2a=b*k+1

b*k+1lt;2b

b*(k-2)lt;-1lt;0

тк  b-естественное (bgt;0)

k-2lt;0

klt;2

То  есть  k=1.

2a-1=b

2b-1=c*m (m-естественное  число)

2с-1=a*n (n-натуральное число)

2b-1=4a-3

4a-3=c*m

2c-1=a*n

Представим ,что  mgt;4 ,но тогда:

4a-3=c*mlt;4a ,но  тогда если сgt;a,то с*mgt;4a, что невероятно.

Значит если mgt;4, то сlt;a.

Но  тогда по  тем же рассуждениям что и с  alt;b (2a-1=b*k)

Cразу же получаем что:

2c-1=a

Выразим  b  через c :

2a-1=4c-3

2a-1=b

b=4c-3

2b-1=c*m

2*(4c-3)-1=c*m

8c-7=c*m

c*(8-m)=7gt;0

То  есть c делитель числа  7:

То  есть  с=1  либо с=7

Но  если  c=1 ,то  8-m=7   m=1,что  невозможно тк mgt;4 .

Вывод: c=7 ; a=2c-1=13 ; b=2a-1=25.

Сейчас осмотрим частные случаи  когда mlt;=4  m=1,2,3,4

2b-1=c*m

тк 2b-1 нечетное  число, то и m обязано быть нечетно, но  тогда m=1 или m=3.

Если m=1 ,то  имеем:

2a-1=b

2b-1=c

Тогда из симметрии  задачки получаем что:

a=7; b=13; c=25

Если же:

m=3,то

2a-1=b

2b-1=3c

Выражаем a через с:

2b-1=4a-3

4a-3=3c 6c=8a-6

2c-1=a*n

6c-3=3*a*n

8a-6-3=3*a*n

a*(8-3n)=9

тк  agt;0 , 8-3ngt;0 ,тогда  n=1 либо n=2

8-3n=5  либо  8-3n=2

Но 9 не делится на 5 либо  2.

Таким образом, если  alt;b

то  с=7 ;a=13 ;b=25

либо  a=7; b=13; c=25.

В других же двух  случаях :

blt;c ,либо сlt;a в силу симметрии  задачи получаем

те же  числа в решениях : 7,13,25

Но  здесь надо быть крайне щепетильным  эта задача запутана во всех смыслах. (это  далеко не  значит  что абсолютно все перестановки чисел 7,13,25 являются решениями, как я сначала поразмыслил!).

Чтобы не запутаться, запишем в каком приоритете мы отыскали решения в первой случае:

alt;b : 1) ab ; 2)bc 3);ca

Внимание ! Здесь очень важна зависимость. 2-ое число 1-го номера одинаково первому числу последующего номера!

Мы получили такие решения:

 с=7 ;a=13 ;b=25   -в номерном порядке : 3,1,2

 a=7; b=13; c=25 -в номерном порядке :1,2,3

Осмотрим случай: blt;c

Cледую нужной зависимости имеем:

1) bc  2) ca 3) ab

3,1,2- a=7,b=13,c=25  (как  лицезреем решение cовпало)

1,2,3-  b=7 ; c=13 ;a=25

Осмотрим случай: clt;a

Cледуя требуемой зависимости:

1)ca 2) ab 3) bc

3,1,2- b=7 ; c=13 ; a=25 (решение совпало)

1,2,3  -c=7; a=13 ;b=25 (решение совпало)

Таким образом у нас оказывается только 3 решения!

 с=7 ;a=13 ;b=25  

 a=7; b=13; c=25

b=7;с=13 ; a=25