Найти сумму ряда_(n=1;) x^(n+5)/(n*(n+1))

Ответ:

для  xgt;1 ряд (n=1;) x^(n+5)/(n*(n+1))  -расползается

 для  x [-1;1)   (n=1;) x^(n+5)/(n*(n+1))=(x^4-x^5)*ln(1-x) +x^5,в частности  для  x=0,сумма  равна 0 , для x=-1 сумма одинакова: 2ln(2) - 1.

для x=1     (n=1;) x^(n+5)/(n*(n+1))=1

Разъяснение:

Явно,  что  для  xgt;1

модуль общего  член ряда :  lim (n) (x^(n+5)/(n*(n+1)) =[]    

Вывод : ряд расползается.

Сейчас осмотрим основной случай:

x [-1;1)

В  этом случае  преобразуем n-член  ряда в виде:

x^(n+5)/(n*(n+1))=  x^(n+5)* (1/n -1/(n+1) )= x^5* (x^n/n)  -x^4* (x^(n+1)/(n+1))

Известное разложение в ряд :

ln(1+x)=(n=1;) ( (-1)^(n-1) *x^(n)/n) )  для x (-1;1]

тогда:

ln(1-x)= (n=1;) ( (-1)^(n-1) *(-x)^(n)/n) )=(n=1;) (-1)^(2n-1) *(x^n)/n) )=

-(n=1;) (x^n/n)  для  x[-1;1)

(n=1;) (x^n/n)=-ln(1-x)

(n=1;) (x^(n+1)/(n+1) )= (n=1;) (x^n/n)  -x=-ln(1-x) -x  (так как,  это  тот же ряд что  и (n=1;) (x^n/n) ,только начинается со второго  члена  этого ряда, а 1-ый член ряда :  x^(1)/1=x)

Тогда:

(n=1;) x^(n+5)/(n*(n+1))=x^5*( -ln(1-x) )  -x^4*(-ln(1-x) -x) =

=-x^5*ln(1-x)+x^4*ln(1-x) +x^5= (x^4-x^5)*ln(1-x) +x^5

(n=1;) x^(n+5)/(n*(n+1))= (x^4-x^5)*ln(1-x) +x^5 ,при  x (-1;1]

Примечание: заметим ,что область сходимости ряда            (n=1;) x^(n+5)/(n*(n+1)) такая же  как и  у ряда                   -(n=1;) (x^n/n)=ln(1-x) ,то есть x x[-1;1) ( 1  не врубается их за неопределенности значения  ln(0) ) .

Действительно  :

(n=1;) x^(n+5)/(n*(n+1))=(x^4-x^5)* (n=1;) ( - x^n/n) +x^5 ,тк  x-константа не зависящая от n, то мы получили линейное преображение  ряда  (n=1;) ( - x^n/n) ,а как следует области сходимости ряда не поменялась.

Ну а теперь особенный случай:  x=1

Ряд  воспринимает вид:

(n=1;) (1/n*(n+1) )=(n=1;) (1/n -1/(n+1) ) =(1-1/2) +(1/2-1/3) ...+(1/n -1/(n+1))

Явно  ,что все члены не считая  1 и -1/(n+1) взаимно уничтожаются.

Таким образом  эта сумма равносильна лимиту:

(n=1;) (1/n*(n+1) )=lim (n) (1-1/(n+1) ) = 1.