(x-2)^6+(x-4)^6=64Решить уравнение

2-ая скобка положительна в силу неотрицательности p, потому остается только p=1;

Ответ: 4; 2

Ответ: x1=2 ;x2=4

Изъяснение:

(x-2)^6+(x-4)^6=64

Вычтем и прибавим двойное произведение:

(x-2)^6 -2*(x-2)^3*(x-4)^3 +(x-4)^6 +2*(x-2)^3*(x-4)^3=6

( (x-2)^3-(x-4)^3 )^2 +2*(x-2)^3*(x-4)^3=64

(  ( (x-2)-(x-4) )*( (x-2)^2 +(x-4)^2 +(x-2)*(x-4) ) )^2 +2*(x-2)^3*(x-4)^3=64 ( формула разность кубов)

т.к (x-2)^2+(x-4)^2= ( (x-2)-(x-4))^2+2*(x-2)*(x-4)= 4+2*(x-2)*(x-4)

4* (  4+3*(x-2)*(x-4) )^2  +2* ( (x-4)*(x-3) )^3=64

Подмена : (x-2)*(x-4)=t ( x^2-6x+8=t (x-3)^2-1=t   t+1gt;=0 tgt;=-1)

4* (4+3t)^2 +2*t^3=64

2* (4+3t)^2+t^3=32

2*(16+24t+9t^2) +t^3=32

32+48*t+18*t^2+t^3-32=0

t^3+18*t^2+48*t=0

t*(t^2+18t+48)=0

t1=0

t^2+18t+48=0

D/4=81-48=33

t2=-9+33 lt; -9+36=-3lt;-1 (не подходит)

t3= -9-33 lt;-1 (не подходит)

Таким образом единственное решение t=0.

Вернемся к подмене:

(x-2)*(x-4)=0

x1=2

x2=4

Ответ: x1=2 ;x2=4