помогите с параметром пж

Это классика. Задача сводится к квадратному трехчлену,который обязан иметь желая бы один корень на интервале от 0 до 1

Каждый корень за m и n . В итоге ОДЗ: m>=1 0 <=n<=1

Пусть для удобства так же a+1=t>=1 (тк m>=1)

m^2 +2n^2=3 m+n=t Откуда переходим к квадратному трехчлену: 3*n^2-2*n*t+(t^2-3)=0 Сейчас очень главно найти дискриминант, но не для того чтоб через него решать,на данный момент будет понятно для чего:

А нет дискриминант не поможет. Придется так же учитывать условие t>=1

Точнее все просто. Просто обретаем при каких t уравнение: 3*n^2-2*n*t+(t^2-3) имеет корень от 0 до 1, а позже просто пересекаем с t>=1

Ответ: a[3-1 ; (3*2 -2)/2]

Объяснение:

Подмена:  

(1+2*(x-a)^2)=mgt;=1 ( 2*(x-a)^2=m^2-1gt;=0 mgt;=1)

(1-(x-a)^2)=ngt;=0 ( -(x-a)^2=n^2-1lt;=0 ; n^2lt;=1 n[0;1] )

a+1=tgt;1 (пока оставим в таковой оценке,тк мы не знаем четкое малое значение выражения m+n)  

Тогда уравнение эквивалентно системе:

m^2+2n^2=3 (заметим что если n[0;1] ,то mgt;=1)

m+n=t m=t-n

(t-n)^2+2n^2=3

t^2-2*n*t+n^2 +2n^2-3=0

f(n)=3n^2-2*n*t +(t^2-3)=0

Таким образом прибываем к обыкновенной задачке.

Нужно отыскать такие значения параметра t, когда существует хотя бы один корень с интервала n[0;1] , в этом случае (1-(x-a)^2)=n разрешено условно n, а означает имеет решение .

1. Осмотрим случай , когда  1 корень лежит  на промежутке   n[0;1] ,а иной нет.  Явно ,что это произойдет когда   0 лежит  внутри параболы, а  1 вне  параболы, или когда 1 лежит снутри параболы, а 0  лежит вне параболы. Либо когда парабола пересекает 1  либо 0.

Таким образом ,тк  A=3 gt;0 (ветви идут вверх):

1) f(0)gt;=0 ; f(1)lt;=0 (заметим , что выполнение  данного  условия гарантирует существование корней)

2)   f(1)gt;=0 ; f(0) lt;=0 (так же  гарантирует существование корней)

Это равносильно неравенству:

f(1)*f(0)lt;=0

f(0)=t^2-3=(t-3)*(t+3)

f(1)=3-2t+t^2-3=t^2-2t=t*(t-2)

Получаем неравенство:

t*(t-2)*(t-3)*(t+3)lt;=0

Решаем способом промежутков:

+ (-3) - 0 + 3 - 2 +

тк нам нужно решение tgt;1 ,то  

t[3;2]  

2. Осмотрим случай когда оба корня  лежат на промежутке n[0;1].

В этом случае не один из корней не лежит  снутри параболы,но чтоб исключить  возможность того,  что не один из корней не лежит на интервале n[0;1] необходимо  дополнительное условие ,что  верхушка параболы лежит на интервале  n[0;1]. Так же  нужно существование решений Dgt;=0 ,тк 1-ые два условия  еще не гарантируют существование решений:

f(1)gt;=0

f(0)gt;=0

0lt;nвlt;1

Dgt;=0

Так  же не  забываем ,что  tgt;1

t*(t-2)gt;=0 t[2;)  (c  учетом tgt;1)

(t-3)*(t+3)

gt;=0 t[3;]

nв=2t/6=t/3

0lt;t/3lt;1   0lt;tlt;3  1lt;tlt;3

D/4=t^2-3*(t^2-3)= -2t^2+9gt;=0

2t^2lt;=9   1lt;tlt;3/2.

Пересекая все решения имеем:

t[2;3/2]

Таким образом:

t[3; 3*2/2]

Либо: (a=t-1)

a[3-1 ; (3*2 -2)/2].

Сейчас решим вторым методом,применяя экстремум.

Предварительно сделав подмену (x-a)=t

Запишем функцию:

f(t)=(1+2t^2) +(1-t^2)

Область определения:  tlt;=1 (функция ограничена , а значит имеет минимум и максимум на отрезке t[-1;1] ,так  же на этом отрезке  она является постоянной)

Найдем  производную и приравняем к нулю:

f'(t)=  4t/2*(1+2t^2)  -  2t/2*(1-t^2)=0

t* (2/(1+2t^2) -1/(1-t^2) )=0  ( t