6. Может ли квадратное уравнение ax2+bx+c=0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант,

Представим, что может.

 b-4ac=27;  4ac=b-27;  Выражение справа делится на 4, значит, обязано делиться на 4 и выражение b-24-3.

-24 делится на 4, осталось выяснить, делится ли  в-3 на 4

Явно, что b обязано быть нечетным, т. е. иметь вид b=2n+1, т.к. если от четного отнять 3, то получим нечетное, а оно не делится на 4.  

Подставим   (4n+4n+1)-3=4n+4n-2  =(4n+4n)-2

Заключительнее выражение не делится на 4. Значит, предположение  - ложно.   И ни при каких целых a, b, c дискриминант квадратного уравнения не может быть равным 27.