Мне нужно написать краткий реферат на тему "Квадратные уравнения". ПОМОГИТЕ!!!

Квадратное уравнение

План:

Введение

1 Геометрический смысл

2 Получение формулы для решения

3 Уравнение с вещественными коэффициентами

3.1 Иные записи решений

3.2 Приведённое квадратное уравнение

3.3 Мнемонические правила

4 Уравнение с всеохватывающими коэффициентами

5 Аксиома Виета

5.1 Мнемоническое управляло

6 Разложение квадратного уравнения на множители

7 Уравнения, сводящиеся к квадратным

7.1 Алгебраические

7.2 Дифференциальные

Примечания

Введение

Квадратное уравнение алгебраическое уравнение общего вида

ax^2 + bx + c = 0, \quad a \ne 0.

Коэффициент с величается свободным членом этого уравнения.

Поделив уравнение общего вида на a, можно получить так нарекаемое приведённое квадратное уравнение:

x^2 + px + q = 0, \quad p=\fracba, \quad q=\fracca.

1. Геометрический смысл

Квадратное уравнение.gif

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения именуют точки скрещения параболы с осью абсцисс. Если парабола, обрисовываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также разговаривают, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в 2-ух точках, уравнение имеет два вещественных корня. (См. изображение справа.)

Если коэффициент а положительный, ветки параболы ориентированы ввысь и напротив. Если коэффициент b положительный, то верхушка параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

2. Получение формулы для решения

Формулу можно получить последующим образом:

ax2 + bx + c = 0,

ax2 + bx = c

Умножаем каждую часть на 4a и прибавляем b2:

4a2x2 + 4abx + b2 = 4ac + b2

(2ax + b)2 = 4ac + b2

2ax + b = \pm\sqrt-4ac + b^2

3. Уравнение с вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a,b,c может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b2 4ac:

при D gt; 0 корней два, и они рассчитываются по формуле

x_1,2 = \frac-b \pm \sqrtb^2-4ac2a;       (1)

при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух одинаковых либо совпадающих корнях), кратности 2:

x = \frac-b2a;

при D lt; 0 вещественных корней нет. Существуют два всеохватывающих корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), или формулой

x_1,2 = \frac-b \pm i\sqrt-b^2+4ac2a.

3.1. Другие записи решений

Заместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

x_1,2 = \frac-k \pm \sqrtk^2-aca,

где k = b / 2. Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax2 + 2kx + c = 0.

3.2. Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение вида x2 + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, именуют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

x_1,2= -\frac p2 \pm \sqrt\left( \frac p2 \right)^2-q.

Если уравнение записать в виде x2 + 2px + q = 0, то формула будет ещё проще:

x_1,2= -p \pm \sqrtp^2-q.

уравнения в Старом Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и 2-ой ступени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного нрава, а также с развитием астрономии и самой арифметики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, но безызвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого управляла. Почти все отысканные до сих пор клинописные тексты приводят только задачки с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний условно того, каким образом они были найдены. Невзирая на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.