В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точкупересечения этой б

Возьмем треугольник АВС, где угол В - прямой. точку скрещения биссектрисы с катетом обозначим за D; Пересечения катетов обозначим за E и F соответственно. 
Т.к. угол В прямой то, катеты будут лежать перпендикулярно . то есть BC перпендикулярно DF (т.к. В прямой и ABDF) и EB перпендикулярно ED (тк B прямой и BCED) . т.к. эти три угла равные =90 (B E и  F) то и угол D равен 90 (т.к. сумма углов в 4угольнике =360).
отметим что BCED означает BD секущая, а DBF и BDE накрестлежащие, а как следует они одинаковы.знаменито, что против одинаковых углов лежат равные стороны. означает, BE=DF. Подобно по углам EBD и BDF обретаем, что ED=BF. не считая того, т.к. BD биссектриса, EBD=DBF.  В итоге BE=DF=ED=BF и каждый из углов равен 90 градусам, что подходит определению квадрата.