Отыскать предел) (досконально)Номер 52

Разобьем последовательность на две подпоследовательности с чётными и нечётными n.

Сгруппируем слагаемые под модулем попарно:

Если n чётно, таких скобок ровно n/2, в каждой получается -1/n, так что всё выражение одинаково -1/2.

Если n нечётно, скобок (n - 1)/2, в каждой по-прежнему выходит -1/n, и ещё дополнительно 1 = n/n, которой не хватило пары. Значение выражения -1/2 - 1/(2n) + 1 = 1/2 - 1/(2n).

Итак, любая из 2-ух подпоследовательностей сходится, притом пределы совпадают, а вместе эти подпоследовательности образуют всю последовательность. Значит, и вся последовательность сходится к тому же лимиту.

(На всякий случай подтверждение: пусть Xn, Yn сходятся к A. Докажем, что последовательность X1, Y1, X2, Y2, ... сходится к A. По определению, для всех gt; 0 найдутся такие Nodd и Neven, что для всех n gt; Nodd: Xn - A lt; ; для всех n gt; Neven: Yn - A lt; . Тогда все члены новейшей последовательности, с номерами, великими max(2*Nodd - 1, 2*Neven), отличаются от A меньше, чем на )