Отыскать общее решение дифференциального уравнения  [tex]y039;039;+py039;+qy=f(x)[/tex] и  приватное

Поначалу решим общее однородное уравнение:

y''-4y'+3y=0

Для этого составим характеристическое уравнение:

Находим корешки, получаем: 

 Тогда общее решение однородного уравнения запишется как:

Сейчас найдем приватное решение неоднородного уравнения.

Попробуем подобрать его, вообщем здесь видно, что приватное решение этого уравнения будет  

Если таковой вариант нахождения приватного решения не подходит, то можно решать все долго и по формулам: 

для этого воспользуемся способом вариации неизменной, дл это представим C1 и С2 как функции от х  и решим все по формуле:

Разделим 1-ое и 2-ое уравнениея на , выразим из 1го уравнения получим 

Сейчас подставим это во 2-ое уравнение и получим, после всех сокращений:

 Сейчас найдем C1(x)

Подставляем отысканные C1 и C2 и получаем:

 Приватное решение в виде:

 Сейчас найдем общее решение:

Y(x)=общее решение однородного уравнения+приватное решение неоднородного уравнения 

 Я размышляю что стоить взять частное решение которое было получено подбором, поэтому что оно проще, да и я мог где нибудь ошибиться в расчетах, потому:

(1)

 Сейчас решаем задачку Коши:

Она содержится в нахождении C1 и C2

Все просто, подставим в решение (1) вместо x число 0, а вместо y число 2 (это соответсвует y(0)=2)

Сейчас возьмем производную и подставим в нее заместо x ноль, а заместо y -1

Получили систему уравнение:

Отсюда C2=0, C1=5.

Сейчас запишем ответ:

ОТВЕТ: