Пользуясь формулой Муавра и Бином Ньютона, выразите через ступени sin фи

task/29588553   Пользуясь формулой Муавра  и  Двучлен Ньютона , выразить через ступени sin и cos следующие функции кратных углов :

1) sin 4  ;       2) cos 5.  

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * *  z =a + i *b  ;    z =a +i*b .      Если  z = z , то  a = a и   b = b  * * *

Формула Муавра: z = ( r(cos +i sin) ) = r*[cos(n) + i*sin(n)].

1 )  (cos +i sin) = cos4 +i * sin4     ( а )             * * * r =1 * * *

С иной стороны по формуле двучлена Ньютона :

(cos +i sin)=cos+4cos*(isin)+6cos*(isin)+4cos*(isin)+(i sin)

= cos - 6cos*sin +sin + i*( 4cos*sin - 4cos*sin) .  ( б )

Сравнивая (а) и (б) получаем :

sin4 =4cos*sin - 4cos*sin   = 4sincos* (cos - sin) =

2sin2 *cos2 =sin4  

========================================

2)  (cos +i sin) = cos5 + i*sin5      ( а )    

(cos +i sin) =cos +5cos*(isin)+10cos*(isin)+10cos*(isin) +

+ 5cos*(isin)+ (i sin) = cos - 10cos*sin +5cos*sin +

+i*(5cos*isin -  10cos*sin + sin ).      ( б )    

Сравнивая (а) и (б) получаем  :

cos5 = cos - 10cos*sin +5cos*sin  .