Упростите выражение (a-a)(a-a)...(a-a) / (a-a)(a-a)... (a-a) +

Поглядим на это выражение как на многочлен от переменной а, т.е. его можно записать как f(a), где f - многочлен ступени х-1, т.к. в числителе каждого слагаемого x-1 множителей содержащих а, а в знаменателях а отсутствует. Тогда f(a)=0, т.к. 1-ое слагаемое будет одинаково (a-a)(a-a)...(a-a) / (a-a)(a-a)... (a-a)=1, а все другие дроби одинаковы 0, т.к. у их в числителях будет находиться а-а=0 и в конце еще из всего этого вычитаем 1. Подобно, f(a)=0 (второе слагаемое равно 1, другие дроби одинаковы 0  и в конце -1), f(a)=0, ..., f(а)=0, т.е. многочлен f имеет х разных корней (разны они, т.к. знаменатели не одинаковы 0). Значит многочлен f тождественно равен 0, т.к. иначе у него могло быть не более x-1 корней, ведь его ступень одинакова x-1. Итак, ответ: 0.

P.S. Если убрать заключительную -1, то остается конструкция, которая в арифметике называется интерполяционный многочлен Лагранжа, т.е. многочлен, график которого проходит через данные точки плоскости. Здесь это многочлен от а ступени х-1, проходящий через х точек (a,1),...,(а,1). Таковой многочлен тождественно равен 1, т.е. вся эта трудная сумма дробей - это запись константы 1 в виде многочлена степени x-1 от переменной a. Ну и в конце вычитаем 1 и получаем 0.