Найдите меньшее натуральное число, кратное 99 и записываемое только единицами и

Если число кратно 99, то оно делится на 9 и 11.
Признак делимости на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 11: Число делится на 11, если разность сумм цифр, стоящих на чётных и нечётных местазх делится на 11.


Сумма цифр числа обязана делиться на 9. В меньшем числе количество цифр наименьшее, пробуем набрать сумму, кратную 9, минимальным числом слагаемых.

1) Сумма 9 нечётное число. Тогда посреди сумм цифр, стоящих на чётном и нечётном местах, одна чётная сумма и одна нечётная, любая сумма не превосходит 9, тогда и разность не превосходит 9. Ни одно нечётное естественное число, не большее 9, не делится на 11, так что ни одно число не будет делиться на 11.

2) Сумма 18. Есть один вариант разбиения на две суммы, разность которых делится на 11: 18 = 9 + 9. На то, чтоб получить сумму 9, необходимо не наименее 5 цифр, причём подойдёт только один вариант 9 = 2 + 2 + 2 + 2 + 1. Так что если надо получить число, содержащее не больше 10 цифр, то на чётных местах и нечётных местах обязаны стоять по 4 двойки и одной единице. Чтоб число было минимальным, единицы должны стоять ранее двоек. Получаем число 1122222222.

3) Сумма не меньше 27, тогда цифр необходимо не меньше 14, потому все числа будут больше отысканного.

Ответ. 1122222222.