Найдите все многочлены P(x) и Q(x), удовлетворяющие при всех x

Подставляем в Q(x - 1) заместо x выражение x + 1:
Q((x + 1) - 1) = (x + 1)^2 - 2(x + 1) - 1
Q(x) = x^2 - 2

Подставляем теснее отысканный Q(x) в 1-ое равенство.
P(x^2 - 2) = x^4 - 5x^2 + 7

Пусть P(x) = ax^n + ..., проследим за старшей ступенью.
P(x^2 + ...) = a(x^2 + ...)^n + ... = a x^(2n) + ...

Сопоставляем с имеющим равенством и получаем, что a = 1, n = 2, т.е. P(x) приведённый квадратный трёхчлен. Представим его в виде P(x) = x^2 + ux + v и будем разыскивать константы u и v.

P(x) = x^2 + ux + v
P(x^2 - 2) = (x^2 - 2)^2 + u(x^2 - 2) + v
P(x^2 - 2) = x^4 - (4 - u)x^2 + (4 - 2u + v)

Выражение в правой доли равенства при всех x обязано совпадать с x^4 - 5x^2 + 7, при одинаковых ступенях обязаны стоять схожие коэффициенты.


P(x) = x^2 - x + 1