обоснуйте неравенство, (aamp;gt;0, bamp;gt;0):[tex] fracab^2 + fracba^2 geqslant

a/b + b/a 1/a + 1/b

Преобразуем данное неравенство к виду

(a + b)/ab (a + b)/ab

ab(a + b) ab(a + b)

Уменьшая на ab, получаем

(a + b) ab(a + b)

Как известно, сумма кубов 2-ух чисел одинакова

a + b = (a + b)(a - ab + b)

Подставляя в заключительное неравенство, имеем

(a + b)(a -ab + b) ab(a + b)

Т. к. a gt; 0 и b gt; 0, сокращая на a + b, получаем

a - ab + b ab

a - ab +b - ab 0

a - 2ab + b 0

(a - b) 0, что является верным неравенством.

Что и требовалось обосновать.