Можно ли на окружности расставить числа от 1 до 1991 так,

Нет, нельзя. Возьмем любых 11 попорядку идущих чисел на круге. Сумма с 1-го по 10-ое делится на 11. Сумма со 2-го по 11 тоже делится на 11. Это означает, что 1-ое и 11-ое числа имеют схожие остатки при делении на 11, т.к. 9 чисел со 2-го по 10-ое у этих 2-ух сумм общие. А это значит что любые два числа, меж которыми есть 9 чисел, имеют однообразные остатки при дроблении на 11. Т.е. если поделить все числа на группы по 10 чисел (не считая последней), то в каждой группе, к примеру, 1-ые элементы имеют однообразные остатки. Этих групп всего не наименее, чем [1991/10]=199. Т.е. обязано быть не наименее 199 чисел с схожим остатком. Но для каждого остатка от 0 до 10 посреди чисел от 1 до 1991 есть всего 1991/11=181 чисел c этим остатком. Противоречие.