докажите что число 543212345432115 не является квадратом натурального числа

Число заканчивается на 5. Означает, в квадрат возводится число тоже заканчивающее на 5; и квадрат такого числа должен оканчиваться на 25.

Докажем. что это так и есть. Пусть у нас число заканчивается 5, т.е. имеет вид: 10а + 5, где а - хоть какое натуральное число. Возведём его в квадрат:

(10а + 5) = 100а + 2*10а*5 +25 = 100а + 100а + 25

Отсюда видно, что а и а множатся на 100, т.е. на конце будут два ноля. Вот и выходит, что после добавления к числу с 2-мя нулями на конце числа 25, число должно оканчиваться на 25. А у нас число заканчивается на ...15. Потому начальное число не является квадратом естественного числа.