Обоснуйте что:1)17^n -1 кратно 162)23^2n+1 +1кратно 243)13^2n+1 +1 кратно 14

Доказательство проведем индукцией по n.
1) 17 - 1 кратно 16. При n = 1 кратность подтверждается: 17 - 1 = 16. Пусть кратность 16-ти сохраняется при случайном n. Докажем, что она подтверждается и при n + 1. 17 - 1 = 17*17 + 1. Составим разность: 17 - 1 - (17 - 1) = 17 - 1 - 17 + 1 = 17*17 - 17 = 17(17 - 1) = 16*17. Получили, что разность 17 - 1 - (17 - 1) кратна 16. Т.к. слагаемое 17 - 1 также кратно 16 по предположению индукции, то и слагаемое 17 - 1 кратно 16, следовательно кратность доказана.

2) 23 + 1 кратно 24. При n = 1 кратность подтверждается: 23 + 1 = 12167 + 1 = 12168 = 24*507. Полагая, что имеет место кратность 23 + 1 двадцати четырем, покажем, что и при n + 1 кратность подтверждается. 23 + 1 = 23 + 1. Сочиняем разность 23 + 1 - (23 + 1) = 23 + 1 - 23 - 1 = 23*23 - 23 = 23(23 - 1) = 23(23 - 1)(23 + 1)=22*24*23. Лицезреем, что эта разность кратна 24. Т. к. слагаемое 23 + 1 кратно 24 по предположению индукции, то и 23 + 1 кратно 24, тем самым кратность подтверждена.

3) 13 + 1 кратно 14. Действуя как в предыдущем пт, получаем: при n = 1, 13 + 1 = 2197 + 1 = 2198 = 14*157. Полагаем, что 13 + 1 кратно 14 и подтверждаем кратность 14-ти при n + 1. 13 + 1 = 13 + 1. Составляем разность 13 + 1 - (13 + 1) = 13 - 13 = 13*13 - 13 = 13(13 - 1) = 13(13 - 1)(13 + 1) = 12*14*13. Разность кратна 14, т. к. по предположению 13 + 1 кратно 14, то и 13 + 1 кратно 14. Кратность подтверждена.