есть ли такие 4 числа (разумных) которые при твореньи дают друг

Характеристики ЧИСЕЛ. ДЕЛИМОСТЬ
1. Если в произведении 2-ух чисел 1-ый множитель прирастить на 1, а
2-ой уменьшить на 1, то творение увеличится на 2011. Как
поменяется творенье начальных чисел, если, напротив, первый
множитель уменьшить на 1, а 2-ой прирастить на 1?
Ответ. Уменьшится на 2013.
Решение. Пусть вначале были числа x и y (с твореньем xy ). После того как
первый множитель прирастили на 1, а 2-ой уменьшили на 1, вышло
(x 1)( y 1) = xy y x 1.
Творенье увеличилось на 2011, то есть y x 1= 2011 или y x = 2012 . Если же
1-ый множитель уменьшить на 1, а 2-ой прирастить на 1, получится
(x 1)( y 1) = xy y x 1.
Заметим, что
xy y x 1= xy ( y x) 1= xy 2012 1= xy 2013 .
То есть творенье уменьшилось на 2013.
2. Даны ненулевые числа x, y и z. Чему может приравниваться значение выражения
(





) (





) (





)
Ответ. 0.
Решение. Докажем, что выражение, стоящее по последней мере в одной из скобок,
одинаково нулю. Выражение, стоящее в первой скобке, воспринимает нулевое значение, если
x и y 1-го знака. Подобно для второй и третьей скобок. Но посреди ненулевых
чисел x, y и z непременно найдутся или два положительных числа, или два
отрицательных. А значит, желая бы один из трех множителей равен нулю. Поэтому все
творенье одинаково нулю.
3. Сопоставить числа:
9 9 100
1
. . .
5 2 5 3
1
5 1 5 2
1
5 0 5 1
1







и
100
1
. Ответ обосновать!
Ответ. Числа одинаковы.
Решение. Правосудно равенство
1
1 1
( 1)
1


n n n n
. Применяя его к сумме дробей,
получим
100
1
100
1
5 0
1
100
1
9 9
1
. . .
5 2
1
5 1
1
5 1
1
5 0
1
.
4. Сумма 2-ух положительных чисел и сумма их кубов являются
рациональными числами. Можно ли утверждать, что
а) сами числа разумны? б) сумма их квадратов разумна?
Ответ. а) Нет. б) Да, можно.
Указание. а) В качестве образца можно брать числа
a 2 1, b 2 1 .
б) Пусть числа
x a b
и
3 3
y a b
рациональны. Тогда
3 ( )
3 3 3
x a b ab a b = y 3x ab.
Отсюда
x
x y
ab
3
3

рациональное число. Поэтому число
a b (a b) 2ab 2 2 2
также
рационально.