Вычислить определенный интеграл [tex] intlimits^b_a sin(x) , dx [/tex]. Трудное задание,

cos(a) - cos(b)

Формулу Ньютона-Лейбница использовать нельзя!

Надобно было указать это в вопросе

Т.к. sin(x) - постоянная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с хоть какими точками на нем. Разобьем [a,b] на n одинаковых долей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков:
sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1

Дальше преобразуем слагаемые в разности косинусов:
sin(a + k*(b-a)/n) = sin(a + k*(b-a)/n) * sin( (b-a)/2n ) / sin( (b-a)/2n ) = 1/(2sin((b-a)/2n)) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)]

Тут были использованы формулы
cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)
cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y))
Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n

y было выбрано так, чтоб все косинусы, не считая последних, попадали в сумму с различными знаками и сокращались.

Начальная сумма sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду
(b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1

Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.

[cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)] = cos(a - 1/2 (b-a)/n) - cos(a + (n - 1/2)*(b-a)/n)

При n , это выражение стремится к cos(a) - cos(b)

Что дотрагивается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n синус стремится к своему доводу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1

Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n , при этом этот предел по определению и является разыскиваемым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n устремляется к 0)