y=tgx 2-ая производная

Y ' = (tgx) ' = 1/cos^2x
y ' = (1/cos^2x) = (cos^(-2)x)' = - 2 cos^(-3)x * ( - sinx) = 2tgx *1/cos^2x

Y = tg x
1-ая производная (используем формулу производной частного):

                   sin x     sin' x * cos x - sin x * cos' x     cos x * cos x - sin x * (-sin x)
Y' = tg' x = ------- = ------------------------------------- = --------------------------------------- =
                   cos x                       cos x                                        cos x

     cos x + sin x          1
= --------------------- = -----------
             cos x            cos x

Вторая производная (используем формулу дифференцирования сложной функции):
             1                                                                                      2 tg x
Y'' = (---------)' = ((cos x)^(-2))' = -2 * (cos x)^(-3) * (-sin x) = -----------
         cos x                                                                                  cos x