Довести тотожнсть cos/19+cos3/19+cos5/19++cos17/19=1/2

Довести тотожнсть cos/19+cos3/19+cos5/19++cos17/19=1/2


Задать свой вопрос
Арсений Кармель
обосновать тождество cos (П/19) + cos (3П/19) + cos (5П/19) +...+cos (17П/19) = 1/2
Степан Коробейников
используйте формулу суммы косинусов
Маилян Виталик
спасибо, знаете, я попробовала использовать формулу sin x - sin y и вышло
1 ответ
В силу формулы \displaystyle\cos\alpha \sin\beta=\frac12\left(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right) верна цепочка равенств:
\displaystyle \cos\frac\pi19\sin \frac\pi19=\frac12\sin \frac2\pi19,
\displaystyle \cos\frac3\pi19\sin \frac\pi19=\frac12\left(\sin \frac4\pi19-\sin\frac2\pi19\right),
\displaystyle \cos\frac5\pi19\sin \frac\pi19=\frac12\left(\sin \frac6\pi19-\sin\frac4\pi19\right),
                    ................................

\displaystyle \cos\frac15\pi19\sin \frac\pi19=\frac12\left(\sin \frac16\pi19-\sin\frac14\pi19\right),
\displaystyle \cos\frac17\pi19\sin \frac\pi19=\frac12\left(\sin \frac18\pi19-\sin\frac16\pi19\right).
Сложим почленно эти равенства. В левой доли выходит
\displaystyle \left(\cos\frac\pi19+\cos\frac3\pi19+\ldots+\cos\frac15\pi19+\cos\frac17\pi19\right)\sin \frac\pi19, а в правой все слагаемые сокращаются, кроме \displaystyle\sin \frac18\pi19=\sin \frac\pi19, которое сокращается с таким же множителем в левой доли. Отсюда
\displaystyle\cos\frac\pi19+\cos\frac3\pi19+\ldots+\cos\frac15\pi19+\cos\frac17\pi19=\frac12.
Степан
спасибо для вас большое!!!!!!
, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Последние вопросы

Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт