1203, пожалуйста. Не выходит.

n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(n^2+3n)^2+2*(n^2+3n)+1=(n^2+3n+1)^2

N*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1 = 
= (n*(n+3)) * ((n+1)*(n+2)) +1 = 
= (n+3n) * (n+n+2n+2)+1 = 
= (n+3n) * (n+3n+2) + 1 = 
= (n+3n) * ((n+3n)+2) + 1 =
=  (n+3n) + 2*(n+3n) + 1  
Явно, что заключительное выражение - это квадрат суммы, 
a + 2ab + b = (a + b) 
где 
(n+3n) подходит a
1 подходит b.
Получаем
(n+3n) + 2*(n+3n) + 1 = ((n+3n) + 1) = (n+3n+1) - это и есть квадрат некого числа (n+3n+1).