Утверждают, что число [tex] 2^2017 + 3^2017 [/tex] делится нацело на

Нет, не так. 

2^10 = 1024 = 93 * 11 + 1 - даёт остаток 1 при разделении на 11, потому 2^2017 = (2^201)^10 * 2^7 дает таковой же остаток при разделении на 11, что и 2^7 = 128 = 11^2 + 7, т.е. 7.

3^5 = 22 * 11 + 1 - даёт остаток 1 при дроблении на 11, поэтому 3^2017 = (3^5)^403 * 3^2 дает таковой же остаток при дробленьи на 11, что и 3^2 = 9, т.е. 9.

Тогда сумма 2^2017 + 3^2017 даёт таковой же остаток при делении на 11, что и 7 + 9 = 16, т.е. 5, и НЕ делится на 11.