Решите неравенство. Пожалуйста, напишите подробное решение.

Поначалу решаем как логарифмическое уравнение, для этого приведем к схожему основанию и внесем под знак логарифма дробь 1/2.

log2(x) = 2log4(x), это обязано быть понятно.

log4(1 - sin(2x)) lt;= 1/2 + 2log4(sin(x))
log4(1 - sin(2x)) lt;= log4(2) + 2log4(sin(x))
log4(1 - sin(2x)) lt;= log4(2) + log4(sin(x)) + log4(sin(x))
log4(1 - sin(2x)) lt;= log4(2) + log4(sin^2(x))
log4(1 - sin(2x)) lt;= log4(2*sin^2(x))

Так как основание логарифма (4) больше 1, это неравенство эквивалентно следующему:
1 - sin(2x) lt;= 2*sin^2(x)
Решим его.

Пусть s = sin(x), c = cos(x), C = ctg(x). Тогда получим:
2ss - 1 + 2sc gt;= 0

Осмотрим 2 случая:
1) sin(x) = 0. В этом случае cos(x) = 1
0 - 1 + 0 gt;= 0
Неравенство решений не имеет.

2) sin(x) lt;gt; 0. В этом случае имеем возможность разделить неравенство на sin^2(x) gt; 0. Получим:
2 - 1/(ss) + 2c/s gt;= 0
2 - 1/(ss) + 2C gt;= 0

В учебнике обязана быть такая формула:
1 + CC = 1/(ss)

Применив ее и выразив 1/(ss) через котангенс получим:
2 - 1 - CC + 2C gt;= 0
1 - CC + 2C gt;= 0
CC - 2C - 1 lt;= 0, где C = ctg(x)

А это теснее квадратное уравнение. Решим его:
D = 4 + 4*1 = 8
C1,2 = (2 +- sqrt(8))/2
sqrt(8) это корень квадратный из 8.

Промежный ответ:
x = arcctg((2 + sqrt(8))/2) + pn = arcctg(1 + sqrt(2)) + pn
x = arcctg((2 - sqrt(8))/2) + pn = arcctg(1 - sqrt(2)) + pn

Здесь еще необходимо не пренебрегать про ОДЗ, т. к. аргумент логарифмической функции обязан быть больше нуля.

sin(x) gt; 0 производится при x E (0 + 2p; p + 2p)
1 - sin(2x) gt; 0 производится всегда кроме x = p/4

Потому ответ таковой:
x = arcctg(1 + sqrt(2)) + 2pn
x = arcctg(1 - sqrt(2)) + 2pn